Chapitres
Les différentes unités
L'ensemble des unités associées aux dimensions fondamentales constitue le Système International d'unités. Il s'agit du système MksA (mètre, kilogramme, seconde, Ampère), mais le Kelvin, le mole et le candela font aussi partie de ce système. Ces unités sont appelées unités légales. Elles sont universelles et connues de par le monde entier.
Il est important de savoir que toutes les autres dimensions se déduisent de ces sept dimensions fondamentales par produit ou division de ces dimensions.
Dans certains sujets d'exercices, les grandeurs ne sont pas exprimées dans le système international mais avec des grandeurs usuelles. Il est facile de les comprendre et elles sont parfois utilisées dans la vie de tous les jours, mais il est essentiel de toujours effectuer les calculs avec les grandeurs exprimées dans l'unité internationale pour éviter les erreurs.
Le Système International d'unité, abrégé SI, devient le successeur du système métrique en 1960 à partir d'une résolution de la 11ème Conférence générale des poids et mesures. Ce système permet de rapporter toutes les unités de mesure à un petit nombre d'étalons fondamentaux, permettant aux scientifique de se consacrer à améliorer leur définition. Ce travail est l'une des missions des différents laboratoires nationaux de métrologie.
En pratique, nous utilisons de nombreuses unités dans la vie de tous les jours selon les domaines. C'est ce que l'on appelle l'écriture usuelle.
La conversion d'unités
Faire une conversion consiste à exprimer une grandeur physique ou chimique dans une unité différente de celle dans laquelle elle est initialement exprimée. Cette opération peut être nécessaire :
- Pour comparer différentes valeurs ;
- Pour s'adapter à une nouvelle échelle ;
- Pour respecter les unités exigées dans une relation.
Les conversions sont réalisées avec certaines unités telles que les grammes, les mètres ou les litres depuis l'école primaire. Mais au lycée, la gamme d'unités multiples (c'est à dire plus grandes que l'unité de base) et sous-multiples (c'est à dire plus petites que l'unité de base) utilisée est nettement plus large, ce qui rend indispensable l'utilisation de méthodes de conversion plus pratiques. L'objectif de ce cours est donc de balayer les principales méthodes de conversion existantes.
Convertir avec des tableaux de conversion
Les unités simples peuvent être converties en unités multiples ou sous-multiples à l'aide d'un tableau de conversion ayant toujours la même structure et dans lequel on retrouve toujours les mêmes préfixes. Dans un tableau de conversion, on converti les nombres par ordre de grandeur.
Deux dimensions sont du même ordre de grandeur si le rapport du plus grand par le plus petit est compris entre 1 et 10.
Afin de pouvoir convertir facilement les différentes mesures d'ordres de grandeur, on utilise des tableaux de conversion.
Des préfixes ont été ajoutées aux unités de base du Système International afin de pouvoir plus facilement manier de grands nombres. La plupart du temps, ces préfixes sont utilisés en lieu et place des ordres de grandeur. On parlera d’un kilo pour exprimer une grandeur d’ordre 103 ou d’un méga pour exprimer une grandeur d’ordre 106. Nous comptons 20 préfixes aux unités de grandeur. Ces derniers sont apparus pour la plupart au cours du 20e siècle mais certains existent depuis le 18e siècle ! C’est souvent dans le domaine de l’informatique que vous entende parler de ces ordres de grandeur. En effet, si l’on parle d’ 1 examètre, on préférera utiliser l’appellation de 105,7 années lumières. Cependant, si vous utilisez des clés USB ou des disques durs, vous aurez souvent entendu parler que ces derniers ont des capacités qui se mesurent en gigabits ou encore térabits.
Il existe plusieurs préfixes qui définissent l'ordre de grandeur des unité.
Celui-ci reprend les préfixes des ordres de grandeur principaux pour les trois unités les plus utilisées : le mètre, la gramme ainsi que le litre :
| Préfixe | kilo | hecto | déca | unité | déci | centi | milli |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Abréviation | k | h | da | u | d | c | m |
| En grammes | kg | hg | dag | g | dg | cg | mg |
| En mètres | km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
| En litres | kL | hL | daL | L | dL | cL | mL |
Structure d'un tableau de conversion utilisable pour toute les unités simples
| T | G | M | k | h | da | Unité | d | c | m | µ | n | p | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Où :
- Unité = unité principale utilisée, par exemple m pour mètre, L pour litre, g pour gramme.
- Puis, en allant de la gauche vers la droite : T = Tera, G = Giga, M = Mega, k = kilo, h = hecto, da = déca, d = déci, c = centi, m = milli, µ = micro, n = nano, p = pico
Exemple : Tableau de conversion des mètres
| Tm | Gm | Mm | km | hm | dam | m | dm | cm | mm | µm | nm | pm | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
La liste des préfixes
Yocto
Le yocto représente 10-24 fois l'unité de base, soit un quatrillionième. Il est représenté par un petit y.
Zepto
Le zepto, de symbole petit z est l'avant dernière grandeur la plus petite du Système International. Il représente un millième de milliardième de milliardième de l'unité de base, soit 10-21.
Atto
L'atto est un milliardième de milliardième. Il représente 10-18 fois l'unité de base du Système International. Il se note avec un petit a comme symbole.
Femto
De symbole petit f, le femto est le représentant de 10-15 fois l'unité du Système International. C'est donc un millionième de milliardième. Son origine est le mot femten, du danois qui signifie quinze.
Pico
Le pico représente 10-12 unités. C'est donc un billionième d'unité du Système International. Cette appellation provient de l'italien piccolo qui signifie petit. Son symbole est le petit p.
Nano
Cette unité, crée en 1960, tire son origine du mot nain en grec, nanos. Elle représente 10-9 unités du Système International, soit un milliardième d'unité. Il est représenté par un petit n en guise de symbole.
Micro
Le préfixe micro représente un millionième d'unité du Système International, soit 10-6. Il est représenté par la lettre µ, mu, en grec. Son nom provient du mot microscopique, qui signifie un élément tellement petit qu'on ne peut le voir qu'au microscope.
Milli
Le préfixe milli représente 10-3 unités du Système International, soit un millième. Il est représenté par un petit m.
Centi
Le centi représente un centième d'unité, soit 10-2. C'est donc un centième qui se note avec un petit c.
Déci
Le déci, de symbole petit d, est l'unité qui représente un dixième de l'unité de base du Système International. C'est donc 10-1 fois cette unité.
L'unité de base
Entre le déci est le déca se trouve l'unité de base du Système International. Cette dernière est égale aux nombres compris entre 0 et 10. Elle se note en ordre de grandeur 100, ce qui est égal à 1.
Déca
Le préfixe déca, de symbole da est à ne pas confondre avec le déci. Il représente bien 101, soit une dizaine de l'unité de base du Système International et non pas 10-1.
Hecto
Le préfixe hecto sert à désigner une unité de l'ordre de grandeur 102. Il représente donc une centaine de l'unité de base du Système International. Cette unité est peu couramment utilisée au quotidien. C'est dans le domaine de l'agroalimentaire qu'elle prend tout son sens. Son symbole est un petit h.
Kilo
Le kilo est l'unité qui représente le millier. D'ordre de grandeur 102, c'est l'une des plus utilisée dans notre vie quotidienne. Elle se note avec le symbole k et représente un millier d'unités de base.
Méga
L'unité définie par le méga se note avec un grand M et représente un million d'unités de base du Système International, c'est donc 106.
Giga
Le giga est un préfixe utilisé fréquemment en informatique. Il représente 109, c'est à dire un milliard d'unités du Système international. Son symbole est un grand G.
Péta
Le suffixe péta est là pour représenter un billiard, ou million de milliards de l'unité de base. C'est donc un nombre d'ordre de grandeur 1015. Il se note avec un grand P en guise de symbole.
Exa
L'exa représente un trillion de l'unité de base du Système International, soit un milliard de milliards. Son ordre de grandeur est 1018. Il est exprimé par le symbole d'une grande lettre E.
Zetta
Le zetta, est l'expression de 1021 unités de base du Système International. C'est donc un billion de billiards, aussi appelé trilliard. C'est une grandeur extrêmement grande et elle est l'avant dernière plus grande qui existe. Elle se note avec un grand Z.
Yotta
Le yotta est l'unité la plus grande qui existe au monde, elle représente un quadrillion, ou un billiard de milliards, soit 1024 unités de base. Cela signifie qu'un yotta est égal à un 1 suivi de vingt-quatre 0 ! Il se note avec un grand Y.
Convertir en utilisant des puissances de dix associées aux préfixes
Correspondance entre préfixes et puissances de dix
Chaque unité multiple et chaque unité sous-multiple est systématiquement associée à un préfixe (centi, déci, déca, kilo, méga etc.). A chaque préfixe correspond une puissance de dix. En effet, chaque préfixe se comporte donc comme un coefficient multiplicateur qui peut être remplacé par le produit d'une puissance de dix équivalente. Ci-dessous se trouve un tableau des équivalences entre puissances de 10 et préfixe associé.
Préfixe Tera (T) Giga (G) Mega (M) Kilo (k) Hecto (h) Déca (da) Unité (sans préfixe) déci (d) centi (c) milli (m) micro (µ) nano (n) pico (p) Puissance de dix 10^12 10^9 10^6 10^3 10^2 10^1 1 10^-1 10^-2 10^-3 10^-6 10^-9 10^-12
Cas n°1 : conversion d'une unité multiple ou sous multiple en unité de base
Dans ce cas, il suffit de remplacer le préfixe par la puissance de dix qui lui est associée.
- Exemple 1 : convertir 2,9 Mm en m.
Le préfixe M (méga) est associé à 106.
On peut donc écrire que 2,9 Mm = 2,9 x 106 m
- Exemple 2 : convertir 3,25 mg en g.
Le préfixe m (milli) est associé à 10-3.
On peut donc écrire que 3,25 mg = 3,25 x 10-3 g
Cas n°2 : conversion d'une unité base en une unité multiple ou sous-multiple
Il s'agit de la conversion inverse de celle du cas n°1. En effet, dans le premier cas, il s'agissait de multiplier par la puissance de dix associée au préfixe. Dans le cas présent, il suffit de diviser par la puissance de dix associée au préfixe, ce qui revient à multiplier par la puissance de dix dont l'exposant a le sens opposé.
- Exemple 1 : conversion de 3,26 m en nm.
Le préfixe associé au nanomètre est 10-9. La puissance de signe opposé est 10 9 : diviser par 10-9 revient à multiplier par 109.
On peut donc écrire 3,26 m = 3,26 x 109 nm
- Exemple 2 : conversion de 8,9 m en Tm.
Le préfixe associé au Teramètre est 1012. La puissance de signe opposé est 10-12 : diviser par 1012 revient à multiplier par 10-12.
On peut donc écrire 8,9 m = 8,9 x 10 -12 Tm
Cas n°3 : conversion d'une unité multiple ou sous-multiple en une autre unité multiple ou sous-multiple.
Ce type de conversion est à réaliser en deux étapes. Etape 1 : il faut commencer par convertir la valeur initiale en unité de base en faisant appel au cas n°1. Etape 2 : puis cette valeur intermédiaire est à convertir en l'unité finale en utilisant le cas n°2.
- Exemple : convertir 6 Gm en Mm.
Etape 1 : on convertit 6 Gm en m en utilisant la puissance 10 9 associée au préfixe G (giga).
On peut alors écrire 6 Gm = 6 x 109 m.
Etape 2 : on convertit la valeur précédente (6 x 109 m) en Mm, préfixe qui a pour puissance de dix correspondante 106. Dans ce sens de conversion (unité de base vers multiple ou sous multiple), il s'agit de diviser par la puissance de dix du préfixe, ce qui revient aussi à utiliser la puissance de dix dont l'exposant a le signe opposé, soit 10-6.
On peut donc écrire 6 x 109 m = 6 x 109 x 10-6 Mm. Conclusion : 6 Gm = 103 Mm
Méthode de conversion rapide
Une simplification de la méthode précédente permet d'effectuer de tête n'importe quelle conversion, à condition de connaître les puissances de dix associées aux différents préfixes. L'objectif est de convertir la valeur (V) d'une unité yU en une autre unité zU. Voici la méthode à suivre pour atteindre cet objectif :
- Etape 1 : déterminer la puissance de dix (10a) associée à yU ainsi que la puissance de dix associée à zU (10b)
- Etape 2 : effectuer la différence (a - b) entre les exposants des deux unités
- Etape 3 : la valeur convertie est obtenue en multipliant par la puissance de dix dont l'exposant est la différence précédente (a-b) : soit V yU = V x 10 (a-b) zU
Remarque : il est possible de vérifier assez facilement la cohérence du résultat : lorsque l'on convertit vers une unité plus petite, l'exposant doit être positif. A contrario, l'exposant doit être négatif lorsque l'on convertit vers une unité plus grande.
- Exemple 1 : convertir 22,5 Gm en km
Etape 1 : le préfixe Giga est associé à la puissance de dix 109 tandis que le préfixe kilo est associé à la puissance de dix 103 Etape 2 : la différence entre les exposants est la suivante : 9 - 3 = 6 Etape 3 : le résultat de la conversion est donc 22,5 Gm = 22,5 x 106 km Il est logique de voir apparaître une puissance de dix positive puisque l'on convertit des Gigamètres vers une unité plus petite (km).
- Exemple 2 : convertir 3,5 km en nm
Etape 1 : le préfixe kilo est associé à la puissance de 103, tandis que le préfixe nano est associé à la puissance de dix 10-9 Etape 2 : la différence entre les exposants est la suivante : 3 - (-9) = 12 Etape 3 : le résultat de la conversion est donc 3,5 km = 3,5 x 1012 nm Tout comme dans le premier exemple, le résultat est également logique puisque l'on convertit des kilomètres vers une unité plus petite (nm).
- Exemple 3 : convertir 23 mm en hm
Etape 1 : le préfixe milli est associé à la puissance de dix 10-3 tandis que le préfixe hecto est associé à la puissance de dix 102 Etape 2 : la différence entre les exposants (-3) - 2 = -5 Etape 3 : le résultat de la conversion est donc 23 mm = 23 x 10-5 hm Dans ce dernier exemple, c'est l'inverse des deux exemples précédents : on convertit des millimètres vers une unité plus grande. Il est donc logique de voir apparaître une puissance de dix négative dans le résultat de la conversion.
Réaliser une analyse dimensionnelle pour retrouver une unité
Si, lors d'un exercice, vous vous retrouvez face à une formule dont vous ignorez l'unité du résultat, ne paniquez pas. Il est très simple de retrouver l'unité avec ce qu'on appelle une analyse dimensionnelle.
Une analyse dimensionnelle consiste à décomposer les grandeurs physiques mises en jeu dans une formule afin de retrouver l'unité de la grandeur cherchée.
Voici un exemple simple :
En décomposant les grandeurs physique en leur unité, on obtient : latex][ v = \frac { m } { s } [/latex]. On peut donc en déduire que l'unité de la vitesse est le m/s, soit m.s−1.
Homogénéité et relations mathématiques
Il faut savoir, avant de procéder à une analyse dimensionnelle que :
- Les termes d'une somme ont nécessairement la même dimension ;
- Deux grandeurs de valeurs égales ont nécessairement la même dimension ;
- La dimension d'un produit de facteur est le produit des dimensions des facteurs.
Il faut aussi procéder systématiquement à une analyse dimensionnelle des grandeurs définies par les formules car cela permet :
- De détecter une erreur de calcul ;
- De comprendre la signification physique des termes apparaissant dans les expressions et équations littérales ;
- De déterminer l'expression approchée d'une grandeur sans résoudre exactement le problème.
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Bonjour y aurai t il un professeur pour évaluer les ondes radiesthésiques sur des appareils que j ai créés et que quelques médecins et un spécialiste de la fission nucléaire ont conformé
Bonjour, nous serions ravis de vous aider ! Rendez-vous sur la plateforme de Superprof, sélectionnez la rubrique « Découvrir nos Superprofs » en indiquant la matière souhaitée. Vous trouverez de nombreux professeurs près de chez vous. Bonne journée ! 🙂
Super bien, c’est cool ! Dieu vous bénisse !
Bonjour ! Je suis en classe de première avec spé physique et depuis toujours j’ai eu beaucoup de mal avec les conversions. Grâce à vos méthodes j’ai pu tout comprendre (surtout la 3 ème) merci !
Merci pour votre aide. C’est hyper clair. (Un papa qui se remet aux maths pour sa fille)
Merci beaucoup depuis le temps que je cherchais une méthode efficace
Merci beaucoup.
125 gr de sucre = en ml ?et pourquoi, quel est son protocole
Bonjour Frank,
Il n’est pas possible de transformer une masse de sucre en volume. Cependant, vous pouvez le diluer dans l’eau ou le faire fondre et ainsi calculer son volume.
Bonne journée
Super merci la méthode 3 est super utile !!