Chapitres
Les puissances de 10 permettent d'exprimer des nombres très grands ou très petits de façon plus simple et plus compacte. Par exemple :
💧Le nombre de molécules dans une goutte d'eau est environ égal à 6 000 000 000 000 000 000 000 000
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Au lieu d'écrire ce nombre en entier, on peut l'exprimer en utilisant les puissances de 10 : 6 x 10^23 molécules
Cela rend l'écriture du nombre plus facile à lire et à écrire. De même, pour exprimer un nombre très petit comme la taille d'un atome, on peut utiliser les puissances de 10 :
🌊 La taille d'un atome d'hydrogène est d'environ 0,000 000 000 1 mètre
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Soit 1 x 10^-10 mètre en puissance de 10
Écriture et signification d'une puissance de dix ✍🏼
Rédiger une puissance de dix
Un nombre correspondant à une puissance de dix s'écrit sous la forme 10a où "a" est un nombre relatif (c'est à dire un nombre entier qui peut être soit positif, soit négatif).
Ce nombre (10a) peut se lire de deux façons différentes :
🔖 "10 puissance a" ou "10 exposant a"
Quelques exemples de puissances de dix : 102 ; 1036 ; 10-5
Signification d'une puissance de dix
Lorsque l'exposant (a) est positif, alors la puissance de dix 10a correspond au nombre 1 suivi d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a.
Quelques exemples :
- 103 correspond au nombre 1 suivi de 3 zéros donc 103 = 1 000
- 105 correspond au nombre 1 suivi de 5 zéros donc 105 = 100 000
Lorsque l'exposant (a) est négatif, alors la puissance de dix 10a correspond à un nombre décimal s'écrivant avec le chiffre 1 précédé d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a, le premier zéro se trouvant à gauche de la virgule.
Quelques exemples :
- 10-3 correspond au nombre 1 précédé de 3 zéros donc 10-3 = 0,001
- 10-5 correspond au nombre 1 précédé de 5 zéros donc 10-5 = 0,00001
Méthode d'écriture d'un nombre sous forme d'une puissance de dix 📝
Quelle est la méthode à suivre ?
Cette écriture n'est possible que pour des nombres qui ne sont composés que d'un seul chiffre "1" accompagné d'un ou plusieurs "0".
Pour un nombre entier, on doit compter le nombre de zéros qui suivent le chiffre "1". Ce nombre de zéros est noté "b". On peut alors écrire le nombre sous la forme N = 10^b.
✅ Exemple : pour le nombre 10000, on a quatre chiffres zéro, donc b = 4, et on peut écrire 10000 comme 10^4
Si le nombre est un décimal inférieur à 1, on doit compter le nombre de zéros qui précède le chiffre "1". On note ce nombre "b" et on écrit le nombre sous la forme N = 10^-b.
✅ Exemple, pour le nombre 0,0001, on a quatre chiffres zéro, donc b = 4, et on peut écrire 0,0001 comme 10^-4
Valeur des premières puissances de dix
Le tableau ci-dessous reprend l'écriture des puissances de dix allant de 10 puissance -10 à 10 puissance 10 :
10 puissance 10 | 10 puissance 9 | 10 puissance 8 | 10 puissance 7 | 10 puissance 6 | 10 puissance 5 | 10 puissance 4 | 10 puissance 3 | 10 puissance 2 | 10 puissance 1 | 10 puissance 0 | 10 puissance -1 | 10 puissance -2 | 10 puissance -3 | 10 puissance -4 | 10 puissance -5 | 10 puissance -6 | 10 puissance -7 | 10 puissance -8 | 10 puissance -9 | 10 puissance -10 |
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1010 = 10 000 000 000 | 109 = 1 000 000 000 | 108 = 100 000 000 | 107 = 10 000 000 | 106 = 1 000 000 | 105 = 100 000 | 104 = 10 000 | 103 = 1 000 | 102 = 100 | 101 = 10 | 100 = 1 | 10-1 = 0,1 | 10-2 = 0,01 | 10-3 = 0,001 | 10-4 = 0,0001 | 10-5 = 0,00001 | 10-6 = 0,000001 | 10-7 = 0,0000001 | 10-8 = 0,00000001 | 10-9 = 0,000000001 | 10-10 = 0,0000000001 |
Remarques :
- 100 = 1 donne tout simplement le chiffre 1
- L'utilisation des puissances de dix devient clairement intéressante dès que les valeurs manipulées sont très grandes ou très petites.
Les préfixes associés à des puissances de dix
Les préfixes qui permettent de définir les multiples et sous-multiples d'une unité de base sont tous associés à des puissances de dix.
Le tableau ci-dessous reprend les préfixes les plus connus et les puissances de dix qui leur sont associées :
1021 | 1018 | 1015 | 1012 | 109 | 106 | 103 | 102 | 101 | 10-1 | 10-2 | 10-3 | 10-6 | 10-9 | 10-12 | 10-15 | 10-18 | 10-21 |
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Z (zetta) | E (exa) | P (peta) | T (tera) | G (giga) | M (méga) | k (kilo) | h (hecto) | da (déca) | d (déci) | c (centi) | m (milli) | µ (micro) | n (nano) | p (pico) | f (femto) | a (atto) | z (zepto) |
Des préfixes ont été ajoutées aux unités de base du Système International afin de pouvoir plus facilement manier de grands nombres. La plupart du temps, ces préfixes sont utilisés en lieu et place des ordres de grandeur.
On parlera d'un kilo pour exprimer une grandeur d'ordre 103 ou d'un méga pour exprimer une grandeur d'ordre 106.
Il existe
aux unités de grandeur
C'est souvent dans le domaine de l'informatique que vous entende parler de ces ordres de grandeur. En effet :
- Si l'on parle d'1 examètre, on préférera utiliser l'appellation de 105,7 années lumières
- Si vous utilisez des clés USB ou des disques durs, les capacités qui mesurent en gigabits ou encore térabits
Yocto
Le yocto représente 10-24 fois l'unité de base, soit un quatrillionième. Il est représenté par un petit y.
Zepto
Le zepto, de symbole petit z est l'avant-dernière plus petite grandeur du Système International. Il représente un millième de milliardième de milliardième de l'unité de base, soit 10-21.
Atto
L'atto est un milliardième de milliardième. Il représente 10-18 fois l'unité de base du Système International. Il se note avec un petit a comme symbole.
Femto
De symbole petit f, le femto est le représentant de 10-15 fois l'unité du Système International. C'est donc un millionième de milliardième. Son origine est le mot femten, du danois qui signifie quinze.
Pico
Le pico représente 10-12 unités. C'est donc un billionième d'unité du Système International. Cette appellation provient de l'italien piccolo qui signifie petit. Son symbole est le petit p.
Nano
Cette unité, crée en 1960, tire son origine du mot nain en grec, nanos. Elle représente 10-9 unités du Système International, soit un milliardième d'unité. Il est représenté par un petit n en guise de symbole.
Micro
Le préfixe micro représente un millionième d'unité du Système International, soit 10-6. Il est représenté par la lettre µ, mu, en grec. Son nom provient du mot microscopique, qui signifie un élément tellement petit qu'on ne peut le voir qu'au microscope.
Milli
Le préfixe milli représente 10-3 unités du Système International, soit un millième. Il est représenté par un petit m.
Centi
Le centi représente un centième d'unité, soit 10-2. C'est donc un centième qui se note avec un petit c.
Déci
Le déci, de symbole petit d, est l'unité qui représente un dixième de l'unité de base du Système International. C'est donc 10-1 fois cette unité.
L'unité de base
Entre le déci est le déca se trouve l'unité de base du Système International. Cette dernière est égale aux nombres compris entre 0 et 10. Elle se note en ordre de grandeur 100, ce qui est égal à 1.
Déca
Le préfixe déca, de symbole da est à ne pas confondre avec le déci. Il représente bien 101, soit une dizaine de l'unité de base du Système International et non pas 10-1.
Hecto
Le préfixe hecto sert à désigner une unité de l'ordre de grandeur 102. Il représente donc une centaine de l'unité de base du Système International. Cette unité est peu couramment utilisée au quotidien. C'est dans le domaine de l'agroalimentaire qu'elle prend tout son sens. Son symbole est un petit h.
Kilo
Le kilo est l'unité qui représente le millier. D'ordre de grandeur 102, c'est l'une des plus utilisée dans notre vie quotidienne. Elle se note avec le symbole k et représente un millier d'unités de base.
Méga
L'unité définie par le méga se note avec un grand M et représente un million d'unités de base du Système International, c'est donc 106.
Giga
Le giga est un préfixe utilisé fréquemment en informatique. Il représente 109, c'est à dire un milliard d'unités du Système international. Son symbole est un grand G.
Péta
Le suffixe péta est là pour représenter un billiard, ou million de milliards de l'unité de base. C'est donc un nombre d'ordre de grandeur 1015. Il se note avec un grand P en guise de symbole.
Exa
L'exa représente un trillion de l'unité de base du Système International, soit un milliard de milliards. Son ordre de grandeur est 1018. Il est exprimé par le symbole d'une grande lettre E.
Zetta
Le zetta, est l'expression de 1021 unités de base du Système International. C'est donc un billion de billiards, aussi appelé trilliard. C'est une grandeur extrêmement grande et elle est l'avant dernière plus grande qui existe. Elle se note avec un grand Z.
Yotta
Le yotta est l'unité la plus grande qui existe au monde, elle représente un quadrillion, ou un billiard de milliars, soit 1024 unités de base. Cela signifie qu'un yotta est égal à un 1 suivi de vingt-quatre 0 ! Il se note avec un grand Y.
Quelques règles de calculs faisant intervenir des puissances de dix 💯
Multiplications faisant intervenir des puissances de dix
Lorsqu'une puissance de dix est élevée à un exposant, l'exposant de la puissance de dix est lui même multiplié par l'exposant auquel est élevée la puissance de dix. Cela suit donc la règle suivante :
(10a)b = 10axb
👉🏼 Quelques exemples d'applications :
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Mise en pratique des puissances de dix 🧬
Écriture scientifique des valeurs
L'écriture scientifique est une technique utilisée pour représenter les nombre décimaux en les exprimant d'une certaine façon. L'écriture scientifique est de la forme a x 10n. Dans cette écriture, le nombre a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 exclu. Ce nombre est appelé mantisse. Le petit n est un entier relatif que l'on appelle l'exposant. Le chiffre avant la virgule est donc unique et non nul. Il est parfois suivi de décimales, d'autant que la précision sera élevée.
Astuce : Le nombre 0 ne peut-être représenté avec la notation scientifique.
La notation scientifique peut aussi aider les opérations car on peut facilement multiplier les mantisses ou additionner les exposants. Une autre notation peut aussi se retrouver, notamment dans les calculatrices scientifiques ou sur les ordinateurs. La lettre e comme exposant remplace le 10n. Par exemple 4e−3 = 4 × 10−3 = 0,004.
Ainsi, l'ensemble des exemples cités dans ce chapitre montrent clairement l'un des grands intérêts de l'utilisation des puissances de dix : elles permettent de simplifier l'écriture de très grandes valeurs ou de très petites valeurs. Ainsi, elles apportent un gain de temps considérable dans l'écriture des petites et grandes valeurs, et limitent également le risque d'erreur lors de la manipulation de ces données.
Par conséquent, elles sont très utilisées lorsqu'il s'agit d'exprimer une grandeur en notation scientifique. L'écriture en notation scientifique consiste tout simplement à écrire une valeur sous la forme : a*10 b où
- a est un nombre compris entre 0 et 10 (0 ≤ a < 10)
- b est un entier relatif
Estimation d'un ordre de grandeur
Les ordres de grandeur sont des puissances de 10 qui servent à exprimer des nombres très grands. Ils sont donc là pour aider à représenter une grandeur avec un nombre simple qui relève d'une approximation. Il représente la puissance de 10 la plus proche du nombre exact. Dans le cadre où une grandeur sera multipliée par 10, il conviendra de dire qu'elle a augmenté d'une grandeur.
L'utilisation des ordres de grandeur facilite aussi les comparaisons entre différents éléments tels que des planètes ou encore des rayons d'atomes. Elle permet aussi de savoir quel type d'appareil de mesure choisir pour réaliser des expériences. L'ordre de grandeur vous permettra aussi de vérifier la cohérence de vos calculs.
🌏 🌖 L'ordre de grandeur de la distance Terre-Lune est de 108m, car la distance Terre-Lune est de 384 000 km
💦 L'ordre de grandeur d'une molécule d'eau est de 10-10m, car sa taille est de 0.4 nm
Par ailleurs, elles présentent également un intérêt pour exprimer un ordre de grandeur. En effet, plutôt que de donner une valeur précise, on estime un ordre de grandeur pour cette valeur en lui attribuant la puissance de dix la plus proche.
En reprenant l'écriture de la notation scientifique : a*10 b
- Si 0 ≤ a < 5 alors l'ordre de grandeur de a*10 b est 10 b
- Si 5 ≤ a < 10 alors l'ordre de grandeur de a*10 b est 10 b+1
☀️ Prenons l'exemple du rayon du soleil : 695 700 km
695 700 km = 6,957 *105 km = 6,957*108 m
L'ordre de grandeur pour le rayon du soleil sera 109 m
Remarques :
- On pourra conclure que deux valeurs sont du même ordre de grandeur si le quotient entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite donne un résultat compris entre 1 et 10
- Pour comparer deux valeurs, veiller à ce qu'elles soient converties dans la même unité.
Et vous, que connaissez-vous des puissances de 10 ?
Si vous désirez une aide personnalisée, contactez dès maintenant l’un de nos professeurs !
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6 000 000 000 000 000 000 000 000
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Au lieu d’écrire ce nombre en entier, on peut l’exprimer en utilisant les puissances de 10 : 6 x 10^23 molécules
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Bonjour
je révise avec ma fille.
Cette puissance ne devrait-elle pas être 6X10^24 ?
Merci de m’éclairer.
Très bonne journée
.cd
Y a un erreur kilo c’est 10 puissance 3 et pas 10 puissance deux
excellents articles. très utiles pour être à l’aise face aux élèves.
6 000 000 000 000 000 000 000 000 molécules correspondent à 6 x 10^24 molécules (non pas 6 x 10^23 molécules) n’est ce pas ?
C’est intéressant
Malgré je ne comprends toujours pas les puissances dans les opérations on dirait de la chimie . Peut-être parce que je suis en 7ème AF
you guys are lifesavers
Mehdislm30 2010